[ 선형대수 ] 2. 행렬 대수
선형 대수 독학하며 배운 정리 자료입니다.
개인적으로 공부하면서 정리한 내용입니다. 독학으로 진행하다보니 특정부분은 비정확할 수 있습니다. 그런 부분이 있다면 의견 주시면 고치도록 하겠습니다.
행렬의 연산
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A, B, C 가 행렬 이라고 할 때,
a. A + B = B + A
b. (A + B) + C = A + (B + C)
c. A + 0 = A
d. r(A + B) = rA + rB (r은 스칼라)
e. (r + s)A = rA + sA (r, s는 스칼라)
f. r(sA) = (rs)A (r, s는 스칼라)
행렬곱
행렬에는 곱연산도 있습니다.
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A 가 m x n 행렬이고, B 가 n x p 행렬일 때,
A와 B는 곱할 수 있으며, 이 행렬곱 을 AB라고 표현합니다.
이때, AB의 i 행, j 열의 값은, 시그마(1 ~ n) : A의 i행 n열 * B의 n행 j열 입니다.
행렬곱 은 선형 변환 조합과 상응 한다고 하는데, 이것도 나중에 배워보겠습니다.
그리고, 위에 보시는 바와 같이 행렬곱은 순서를 바꿔도 값이 동일하지 않습니다. 행렬곱의 순서에 따라 결과값이 달라짐에 유의하세요. (계산 순서는 상관 없음)
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예시)
A(BC) == (AB)C 이나, AB != BA 이다.
행렬의 거듭제곱
그냥 행렬을 여러번 곱한 값입니다.
당연히 행렬곱의 정의에 의하면, 행렬의 거듭제곱은 정방행렬만 가능합니다. 정방행렬이란, A_mn 일때, m == n 인 행렬을 이야기 합니다. (행과 열의 개수가 같음)
전치행렬
전치행렬이란, 행렬에서 열과 행이 있을 때, 이 열과 행을 거꾸로 뒤집어 놓은 것을 의미합니다.
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| 2 3 4 |
A = | 5 6 7 | 일때, 특정 요소의 값이 i행 j열에 위치해있다면,
전치행렬 A^T 는 언급한 특정 요소의 값이 j행 i열에 위치해 있습니다.
A^T = | 2 5 |
| 3 6 |
| 4 7 |
전치행렬의 특성은 아래와 같습니다.
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a. (A^T)^T = A
b. (A + B)^T = A^T + B^T
c. (AB)^T = B^T * A^T
역행렬, 항등행렬, 특이행렬
숫자에도 역수가 있잖아요? 행렬에도 역행렬이라는 게 있습니다.
역수의 정의가 그러하듯, 행렬에서는 곱해서 항등 행렬 이 나오게 하는 행렬을 행렬의 역행렬이라고 합니다.
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항등행렬이란, 주 대각선 (i == j)의 원소가 1이고, 나머지 원소는 모두 0인 정방 행렬을 뜻합니다.
이때 항등행렬은 I_n 이라고 보통 표현하고, n은 행의 크기(=열의 크기)를 뜻합니다.
그럼 모든 행렬이 역행렬이 있나요?
아닙니다. 역행렬이 없을 수 있습니다. 역행렬이 존재한다면 해당 행렬은 가역 행렬 이라고 하고, 그렇지 않다면 비 가역 행렬 이라고 합니다.
우리는 이 비 가역행렬 을 특이 행렬 (singular matrix) 이라고도 표현합니다.
역행렬 계산하기
우리는 역행렬을 계산할 수도 있습니다. 이때 행렬식이라는게 쓰이는데, 이는 나중에 배우도록 하고, 지금은 2 x 2 행렬에 대해 역행렬을 구하는 공식을 알아봅시다.
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| a b |
행렬 A = | c d | 일 때, ad - bc != 0 이면, A는 가역행렬이다.
| d -b |
또한 A의 역행렬 A^-1 은, (ad-bc)^1 * | -c a | 이다.
상당히 복잡하지만, 3 x 3 에서는 더 복잡합니다. 이는 다음에 알아보겠습니다.
행렬로 2 x 2 연립 방정식 계산하기
행렬이 가역행렬이라면, 해가 존재합니다. (해가 무수히 많거나, 비존재하지 않습니다.)
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AX = B 라는 2 x 2 연립 선형방정식을 계산 하는 방법은 다음과 같습니다.
1. A^-1 이 존재하므로, 양 변에 A^-1 을 맨 앞에 곱해줍니다.
2. X = A^1 * B 이므로 해당 행렬을 계산하면 X 값을 구할 수 있습니다.